Fonction exponentielle

Définition

Définition :
La fonction exponentielle est la bijection réciproque de $\ln:]0,+\infty[\to\Bbb R$
Pour $x\in\Bbb R$, on note $e^x$ pour $\exp x$
(Bijection, Fonction réciproque, Logarithme népérien - Logarithme naturel)

Formules utiles

Puissance (Réécriture avec une exponentielle)

Réciproque

$$\exp({{\ln x}})={{\ln(\exp x)=x}}$$
(Logarithme népérien - Logarithme naturel)

Multiplication

$${{\exp(a+b)}}={{\exp a.\exp b}}$$

Puissance

$${{\exp(nx)}}={{(\exp x)^n}}$$
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Réécrire $a^b$ à l'aide de la fonction exponentielle, en supposant $a\gt 0$.
Verso: $$a^b=e^{b\ln(a)}$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END

Equivalence

$${{e^x-1}}\underset{ {{0}} }\sim {{x}}$$ $$\lim_{x\to{{0}} }{{\frac{ e^x-1 }{ x }}}={{1}}$$

Primitive

$$\int {{e^x}}dx={{e^x+k}}$$
$$\int {{e^{ax} }}dx={{\frac1ae^{ax}+k}}$$ $$\int {{a^x}}dx={{\frac1{\ln(a)}a^x+k}}$$
(Logarithme népérien - Logarithme naturel)

Développement limité en 0

Développement limité avec $a=0$ : $${{e^x}}={{\sum^n_{k=0}\frac{x^k}{k!}+x^n\epsilon(x)}}$$
Développement limité à l'ordre $1$ en $0$ : $$e^x={{1+x}}+x\varepsilon(x)$$ Développement limité à l'ordre $2$ en $0$ : $$e^x=1+x+{{\frac{x^2}2}}+x^2\varepsilon(x)$$ Développement limité à l'ordre $3$ en $0$ : $${{e^x}}=1+x+\frac{x^2}2+{{\frac{x^3}6}}+x^3\varepsilon(x)$$

Majoration

$${{e^x}}\geqslant{{1+x}}$$

Inégalité fonctionnelle

$${{0}}\leqslant{{1-e^{-u} }}\leqslant {{u}}$$

Montrer que pour tout $x\in{\Bbb R}$, $$e^x\geqslant1+x$$
En déduire $$\forall t\in{\Bbb R},\quad1-t^2\leqslant e^{-t^2}\leqslant\frac1{1+t^2}$$

Introduire une fonction qui correspond à l'inégalité $e^x-(1+x)\geqslant0$
Soit $f(x)=e^x-x-1$

Étudier les variations de cette fonction
Alors $f^\prime(x)= e^x-1=0\iff x=0$
Si $x\lt 0$, alors $e^x\lt 1$ $\implies$ $f^\prime(x)\lt 0$
Si $x\gt 0$, alors $e^x\gt 1$ $\implies$ $f^\prime(x)\gt 0$
Donc $x=0$ est un point du minimum global de la fonction

Conclusion sur l'inégalité
On a donc $\forall x\in{\Bbb R},e^x-x-1\geqslant0$ et donc $e^x\geqslant x+1$

Première partie : implication directe avec $x=-t^2$
On a d'après l'inégalité précédente $$1-t^2\leqslant e^{-t^2}$$

Deuxième partie : implication directe avec $x=t^2$

On a aussi $$\begin{align} e^{t^2}\geqslant1+t^2&\implies\frac1{e^{t^2}}\leqslant\frac1{1+t^2}\\ &\implies e^{-t^2}\leqslant\frac1{1+t^2}\end{align}$$ l'inégalité est donc démontrée

(Dérivée - Dérivation, [[]])

Module d'une exponentielle

$${{\lvert\exp(z)\rvert}}={{e^{\Re (z)} }}$$

Nomenclature

Remarque :
Les fonctions $x\mapsto a^x,a\in\Bbb R$ s'appellent aussi des fonctions exponentielles

Concepts liés

Ecriture exponentielle d'un nombre complexe
Exponentielle d'une matrice
Constante d'Euler

Math'φsics

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